Bounded Entire Function

Question 1.19: Suppose that the function  is complex valued in the complex plane. Suppose also that is both bounded and entire. Prove that  must be a constant.

这个问题是要证明:

任何有界的整函数都一定是常数

首先,什么是整(entire)函数:在整个复平面上都全纯的函数。

那么,什么是全纯(holomorphic):在每点上皆复可微

若  为复平面  的开子集, 在点 复可微是指该极限存在:

进一步,全纯函数无穷次可导:

若  是  内的一个连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线,利用柯西积分公式 说明 n 阶导数复可微,数学归纳法可证无穷可导。

问题的证明:

对有界的整函数  做泰勒展开,系数为:

其中  是一个圆。 有界可知:

,可知对 ,于是:


这个结论是刘维尔(Liouville)定理,它的强化版本是皮卡(Picard)定理

只要一个整函数的值域中不包含两个相异的复数,则这个整函数是常数函数

我也不知道为什么看这些…

不过感觉挺酷:P

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